Université · Licence · 68 modules · L1 → L3
Coder comme un professionnel,
penser comme un chercheur.
La suite du parcours collège : les compétences qu’on attend en MP2I/MPI, en école d’ingénieurs et dans les laboratoires — programmation rigoureuse, algorithmique et preuves, C et OCaml, mathématiques de l’informatique, intelligence artificielle construite à la main, systèmes embarqués et systèmes autonomes de niveau professionnel, informatique théorique, et la méthode pour faire de la recherche.
Chaque module suit la même structure : fiche de cours (définitions précises, formules expliquées, théorèmes avec leurs démonstrations à savoir refaire, méthodes et pièges, exercices corrigés rédigés), leçons avec des dizaines d’exemples exécutables dans la page (Python, NumPy, matplotlib, SQL), cours approfondis et TP guidés à faire sur PC (compiler du C et de l’OCaml, pytest, ROS 2, solveurs), exercices auto-corrigés (le code vous dit si c’est juste, la correction est repliée dessous), des défis à trois niveaux (★ maîtrise, ★★ projet, ★★★ esprit prépa avec preuves et questions ouvertes), un quiz et des références (cours du MIT, de Stanford, de Berkeley, livres gratuits, articles fondateurs).
Prérequis : le niveau Terminale (NSI ou équivalent) ou le parcours Collège + Lycée de APEX. Ordre conseillé : « Coder comme un professionnel » en L1, puis « Mathématiques de l’informatique » et « Intelligence artificielle » en L2, puis « Systèmes embarqués et systèmes autonomes » et « Vers la recherche » en L3. Après le premier, ces thèmes peuvent se lire en parallèle. La suite naturelle est le niveau Master.
Partie F — Coder comme un professionnel
Modules L01 à L08 · Le socle : du code qui tient, les structures et algorithmes fondamentaux, les langages de la prépa, les outils du métier.
- MODULE L01Coder comme un professionnelStyle, types, docstrings, tests unitaires et par propriétés, exceptions, logging, profilage.
- MODULE L02Programmation orientée objet et conceptionEncapsulation, héritage, polymorphisme, abstraction, méthodes spéciales, composition, patrons Stratégie / Observateur / État / Fabrique, SOLID.
- MODULE L03Structures de donnéesListes chaînées, piles, files, ABR, AVL, tas, tables de hachage, tries : les construire pour comprendre leurs coûts.
- MODULE L04Stratégies algorithmiquesDiviser pour régner, programmation dynamique, gloutons, backtracking ; sac à dos, distance d’édition, sudoku, voyageur de commerce.
- MODULE L05GraphesBFS, DFS, Dijkstra, A*, Bellman-Ford, tri topologique, Union-Find, Kruskal, Floyd-Warshall, composantes fortement connexes, flots, 2-SAT.
- MODULE L06Outils du développeurTerminal, environnements virtuels, Git en profondeur (un mini-Git en Python), projet structuré, intégration continue, bisect.
- MODULE L07Le langage C et OCamlCompilation, types, pointeurs, pile et tas, structures, registres ; OCaml : inférence de types, filtrage, listes, types algébriques, modules.
- MODULE L08Bases de données et webModèle relationnel, SQL exécuté dans la page (SQLite), jointures, index, transactions ; HTTP, JSON, API REST pour un robot, sécurité.
Partie G — Mathématiques de l’informatique
Modules L09 à L12 · Prouver, calculer, raisonner sous incertitude, optimiser : les fondations de l’IA et des systèmes autonomes.
- MODULE L09Logique et preuves de programmesTables de vérité, quantificateurs, récurrences, invariants, variants, triplets de Hoare, preuve de BFS et de Dijkstra, assistants de preuve.
- MODULE L10Algèbre linéaire numériqueProduit matriciel, transformations homogènes, Gauss/LU, moindres carrés, valeurs propres, SVD et ACP, conditionnement, jacobiennes.
- MODULE L11Probabilités et statistiques computationnellesLois, espérance et variance, LGN et TCL, intervalles de confiance, bootstrap, Bayes, chaînes de Markov, tests, algorithmes aléatoires.
- MODULE L12Calcul numérique et optimisationDifférences finies, intégration, Euler et RK4, raideur, Verlet, Newton, descente de gradient, différentiation automatique.
Partie H — Intelligence artificielle
Modules L13 à L17 · L’IA construite à la main, des régressions aux transformeurs, du renforcement au raisonnement symbolique.
- MODULE L13Apprentissage superviséRégression linéaire et logistique par gradient, kNN, arbres et forêts, sur-apprentissage, validation croisée, métriques, pipeline complet.
- MODULE L14Réseaux de neurones from scratchPerceptron multicouche en NumPy, rétropropagation vérifiée, Adam, dropout, mini-MNIST dans la page, convolutions, BatchNorm.
- MODULE L15Deep learning moderne : séquences, attention, transformeursModèles de langue, plongements, RNN, attention, un mini-GPT entraîné dans la page, RLHF, lois d’échelle, limites des LLM.
- MODULE L16Apprentissage par renforcementBandits, MDP, Bellman, itération de la valeur, Q-learning, DQN, REINFORCE, acteur-critique, MCTS, robotique et RLHF.
- MODULE L17Recherche et IA symboliqueMinimax et alpha-bêta, CSP et propagation, SAT et DPLL, planification STRIPS, Prolog en 50 lignes, neuro-symbolique.
Partie I — Systèmes embarqués et systèmes autonomes
Modules L18 à L22 · Ce qui se passe dans la puce, dans les capteurs, dans le planificateur et sur le réseau d’un vrai robot.
- MODULE L18Systèmes embarqués et temps réelRegistres, interruptions, tampons circulaires, ordonnancement RMS, FreeRTOS, DMA, virgule fixe, watchdog, sûreté, énergie.
- MODULE L19Perception : filtrage, fusion de capteurs, visionFiltres simples, Kalman et EKF, réglage par NIS, attitude d’une IMU, images (gradients, contours, Hough), caméra et homographie.
- MODULE L20Localisation, cartographie et ROS 2Filtre particulaire, cartes d’occupation, SLAM par graphe, ICP, ROS 2 (nœuds, topics, tf2), Nav2, frontière de la recherche.
- MODULE L21Planification de mouvement et contrôleCinématique, espace des configurations, RRT, fenêtre dynamique, pure pursuit, pôles, LQR, MPC, bouclier de sécurité.
- MODULE L22Communication, bus et réseauxUART/SPI/I2C/CAN, protocoles binaires avec CRC, fiabilité (fenêtre, acquittements), sockets, MQTT, cryptographie appliquée.
Partie K — L1 · Fondements et analyse réelle
Modules L25 à L30 · Le programme de première année, démontré : logique, construction de ℝ, continuité, intégrale de Riemann, développements limités, polynômes.
- MODULE L25Logique, ensembles, applications, dénombrementQuantificateurs et négation, double inclusion, images directe et réciproque, injections et bijections, relations d’équivalence, récurrence forte, dénombrement, binôme et Vandermonde, théorème de Cantor.
- MODULE L26Nombres réels, suites et limitesAxiome de la borne supérieure, Archimède et densité de ℚ, limite monotone, suites adjacentes, Bolzano-Weierstrass, complétude et critère de Cauchy, équivalents et croissances comparées, suites récurrentes.
- MODULE L27Continuité et dérivabilitéLimites et caractérisation séquentielle, continuité uniforme et Heine, valeurs intermédiaires, bornes atteintes, Rolle et accroissements finis, monotonie et signe de la dérivée, convexité et inégalités classiques.
- MODULE L28Intégrale de RiemannSubdivisions et sommes de Darboux, critère d’intégrabilité, intégrabilité des fonctions continues par Heine, théorème fondamental, intégration par parties et changement de variable, sommes de Riemann, Cauchy-Schwarz et formule de la moyenne.
- MODULE L29Développements limités et formules de TaylorUnicité du DL, Taylor avec reste intégral, Taylor-Lagrange et Taylor-Young, DL usuels, opérations et troncature, calcul de limites, position par rapport à la tangente, développements asymptotiques et asymptotes.
- MODULE L30Nombres complexes, polynômes, fractions rationnellesModule et argument, formules d’Euler et de Moivre, racines n-ièmes de l’unité, division euclidienne et Bézout polynomial, multiplicité par les dérivées, d’Alembert-Gauss et factorisation dans ℝ et ℂ, décomposition en éléments simples.
Partie L — L1 · Algèbre et structures
Modules L31 à L36 · Groupes, anneaux et corps, arithmétique, espaces vectoriels, matrices, déterminants, équations différentielles linéaires.
- MODULE L31Groupes, anneaux et corpsAxiomes de groupe, critère de sous-groupe, morphismes et noyau, ordre d’un élément, théorème de Lagrange et petit théorème de Fermat, anneaux et idéaux, ℤ/nℤ corps si et seulement si n premier, signature d’une permutation.
- MODULE L32Arithmétique : divisibilité, congruences, BézoutDivision euclidienne, PGCD et PPCM, théorème de Bézout et algorithme d’Euclide étendu, lemmes de Gauss et d’Euclide, décomposition en facteurs premiers, congruences, théorème chinois effectif, indicatrice d’Euler, théorèmes d’Euler et de Fermat.
- MODULE L33Espaces vectoriels et applications linéairesAxiomes et sous-espaces, familles libres et génératrices, théorème de la base incomplète, dimension, applications linéaires, noyau et image, théorème du rang, formule de Grassmann, sommes directes et supplémentaires.
- MODULE L34Matrices et systèmes linéairesMatrice d’une application linéaire, produit comme composition, rang des lignes et des colonnes, opérations élémentaires et pivot de Gauss, structure affine des solutions, inversion par Gauss-Jordan, changement de base, trace et invariants.
- MODULE L35DéterminantsFormes n-linéaires alternées, existence et unicité du déterminant, formule de Leibniz, multiplicativité, invariance par transposition, développement par cofacteurs, comatrice et formules de Cramer, déterminant de Vandermonde, interprétation en volume et orientation.
- MODULE L36Équations différentielles linéairesStructure affine des solutions, résolution de l’ordre 1 et variation de la constante, problème de Cauchy linéaire et solution globale, ordre 2 à coefficients constants et les trois cas du discriminant, wronskien, principe de superposition, systèmes et exponentielle de matrice.
Partie M — L2 · Analyse
Modules L37 à L43 · Séries numériques, suites et séries de fonctions, séries entières, séries de Fourier, intégrales généralisées, calcul différentiel, intégrales multiples.
- MODULE L37Séries numériquesSommes partielles et restes, divergence de la série harmonique, comparaison série-intégrale et séries de Riemann, critères de d’Alembert et de Cauchy, séries alternées et majoration du reste, convergence absolue, produit de Cauchy, réarrangement de Riemann.
- MODULE L38Suites et séries de fonctionsConvergences simple, uniforme et normale, continuité de la limite uniforme et preuve en trois epsilon, interversion limite-intégrale sur un segment, théorème de dérivation, critère de Cauchy uniforme, théorème de Weierstrass, contre-exemples de la bosse glissante.
- MODULE L39Séries entièresLemme d’Abel et rayon de convergence, d’Alembert et Cauchy-Hadamard, convergence normale sur tout compact, dérivation et intégration terme à terme, unicité du développement, développements usuels, résolution d’équations différentielles par séries, fonction plate de Cauchy.
- MODULE L40Séries de FourierCoefficients de Fourier comme projections orthogonales, inégalité de Bessel et égalité de Parseval, théorème de Dirichlet et noyau de Dirichlet, Riemann-Lebesgue, régularité et décroissance du spectre, sommation de séries par Parseval, phénomène de Gibbs.
- MODULE L41Intégrales généralisées et intégrales à paramètreConvergence en une borne infinie ou en une singularité, critère de Riemann des deux côtés, comparaison et équivalents, convergence absolue et semi-convergence de l’intégrale de Dirichlet, continuité et dérivation sous le signe intégral par domination, fonction Gamma.
- MODULE L42Calcul différentiel : fonctions de plusieurs variablesDérivées partielles et différentiabilité, hiérarchie C¹ implique différentiable implique continue, contre-exemples en dimension 2, gradient et lignes de niveau, règle de la chaîne, théorème de Schwarz, développement de Taylor d’ordre 2, points critiques et classification par la hessienne.
- MODULE L43Intégrales multiplesIntégrale double sur un pavé et sur un domaine simple, théorème de Fubini et inversion de l’ordre, changement de variables et jacobien, coordonnées polaires, cylindriques et sphériques, intégrale de Gauss, aires et volumes, contre-exemple où les intégrales itérées diffèrent.
Partie N — L2 · Algèbre et topologie
Modules L44 à L48 · Réduction des endomorphismes, espaces euclidiens et algèbre bilinéaire, formes quadratiques, topologie des espaces métriques, compacité et complétude.
- MODULE L44Réduction des endomorphismesValeurs et vecteurs propres, polynôme caractéristique, multiplicités algébrique et géométrique, lemme des noyaux, polynôme minimal et caractérisation de la diagonalisabilité, théorème de Cayley-Hamilton, trigonalisation, calcul de puissances et suites récurrentes linéaires.
- MODULE L45Espaces euclidiens et algèbre bilinéaireProduit scalaire et norme euclidienne, inégalité de Cauchy-Schwarz, orthogonalité et procédé de Gram-Schmidt, supplémentaire orthogonal, projection orthogonale et meilleure approximation, théorème spectral, matrices orthogonales, moindres carrés et équations normales.
- MODULE L46Formes quadratiquesFormes bilinéaires symétriques et polarisation, matrice et congruence, réduction de Gauss en somme de carrés, loi d’inertie de Sylvester et signature, critère des mineurs dominants, cône isotrope, réduction par le théorème spectral, classification des points critiques et des coniques.
- MODULE L47Topologie des espaces métriques et normesDistances et normes, boules, ouverts et fermés, intérieur, adhérence et frontière, caractérisations séquentielles, densité, continuité par les images réciproques d’ouverts, normes équivalentes et équivalence en dimension finie, contre-exemples en dimension infinie.
- MODULE L48Compacité, connexité, complétudeCompacité de Borel-Lebesgue et compacité séquentielle, théorème de Heine-Borel et son échec en dimension infinie, image continue d’un compact, Weierstrass et Heine comme corollaires, connexité et valeurs intermédiaires, connexité par arcs, complétude et théorème du point fixe de Picard-Banach.
Partie O — L2 · Probabilités et analyse numérique
Modules L49 à L51 · Probabilités discrètes et variables aléatoires, analyse numérique, théorie des équations différentielles.
- MODULE L49Probabilités discrètes et variables aléatoiresAxiomes de Kolmogorov, probabilités conditionnelles et formule de Bayes, indépendance, variables aléatoires discrètes, espérance et variance, lois uniforme, binomiale, géométrique et de Poisson, fonctions génératrices, inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev, loi faible des grands nombres.
- MODULE L50Analyse numérique : équations, interpolation, quadratureErreurs d’arrondi et élimination catastrophique, conditionnement et stabilité, dichotomie, point fixe et méthode de Newton, ordres de convergence, interpolation de Lagrange et formule d’erreur, phénomène de Runge et points de Tchebychev, méthodes des trapèzes et de Simpson.
- MODULE L51Théorie des équations différentiellesProblème de Cauchy et forme intégrale, théorème de Cauchy-Lipschitz démontré par le point fixe de Picard-Banach, lemme de Grönwall, solutions maximales et critère d’explosion, perte d’unicité sans lipschitzianité, schémas d’Euler et de Runge-Kutta, ordre et raideur.
Partie P — L3 · Mesure, intégration, analyse hilbertienne
Modules L52 à L55 · Théorie de la mesure, intégrale de Lebesgue, espaces Lp, analyse hilbertienne.
- MODULE L52Théorie de la mesureTribus et tribu borélienne, mesures et σ-additivité, mesure de Lebesgue, ensembles négligeables et propriétés presque partout, continuité monotone, ensemble de Cantor, ensemble non mesurable de Vitali, fonctions mesurables et stabilité par limite simple.
- MODULE L53Intégrale de Lebesgue et théorèmes de convergenceConstruction par les fonctions étagées, intégrale des fonctions positives, fonctions intégrables, théorème de convergence monotone, lemme de Fatou, théorème de convergence dominée, comparaison avec Riemann, interversion série-intégrale, continuité et dérivation sous le signe intégral.
- MODULE L54Espaces Lp, Hölder, FubiniSemi-norme et quotient par les fonctions nulles presque partout, inégalités de Hölder et de Minkowski, théorème de Riesz-Fischer et complétude, inclusions en mesure finie et absence d’inclusion sur ℝ, convolution, théorèmes de Fubini et de Tonelli, caractère hilbertien de L2.
- MODULE L55Analyse hilbertienneEspaces de Hilbert et complétude, théorème de projection sur un convexe fermé, supplémentaire orthogonal et rôle de la fermeture, théorème de représentation de Riesz, inégalité de Bessel et égalité de Parseval, bases hilbertiennes, système trigonométrique et isométrie avec l2.
Partie Q — L3 · Algèbre avancée et calcul différentiel
Modules L56 à L59 · Décompositions de Dunford et de Jordan, inversion locale et fonctions implicites, optimisation, analyse matricielle et décomposition en valeurs singulières.
- MODULE L56Réduction avancée : Dunford et JordanSous-espaces caractéristiques et lemme des noyaux, endomorphismes nilpotents et indice, décomposition de Dunford et rôle de la commutation, réduction de Jordan, lecture des blocs sur les rangs des puissances, invariants de similitude, exponentielle de matrice et systèmes différentiels.
- MODULE L57Inversion locale, fonctions implicites, sous-variétésDifféomorphismes locaux et globaux, théorème d’inversion locale démontré par le point fixe, théorème des fonctions implicites et son équivalence avec le premier, théorème du rang constant, sous-variétés et espace tangent, multiplicateurs de Lagrange et hypothèse de liberté des gradients.
- MODULE L58Optimisation : convexité, KKT, algorithmesFonctions convexes et caractérisations par la tangente et la hessienne, convexité stricte et forte, minimum local global, condition d’optimalité sur un convexe, inégalité de Jensen, conditions de Karush-Kuhn-Tucker et complémentarité, descente de gradient et rôle du conditionnement, méthode de Newton.
- MODULE L59Analyse matricielle et décomposition en valeurs singulièresNormes matricielles subordonnées, rayon spectral et théorème de Gelfand, conditionnement, décompositions LU, QR et Cholesky, décomposition en valeurs singulières et interprétation géométrique, théorème d’Eckart-Young, pseudo-inverse de Moore-Penrose, convergence des méthodes itératives.
Partie R — L3 · Probabilités et statistique
Modules L60 à L65 · Probabilités continues et vecteurs gaussiens, théorèmes limites, chaînes de Markov, estimation, tests d’hypothèses, analyse exploratoire multidimensionnelle.
- MODULE L60Probabilités continues et vecteurs gaussiensVariables à densité et fonction de répartition, lois uniforme, exponentielle, normale et de Cauchy, espérance et moments, fonction caractéristique, changement de variables, vecteurs gaussiens et stabilité affine, décorrélation et indépendance, simulation par inversion.
- MODULE L61Théorèmes limites : LGN, TCL, convergencesLes quatre convergences et leur hiérarchie stricte, inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev, lemme de Borel-Cantelli, lois faible et forte des grands nombres, théorème central limite par les fonctions caractéristiques, vitesse de Berry-Esseen, théorème de Slutsky et delta-méthode.
- MODULE L62Chaînes de MarkovPropriété de Markov et matrices stochastiques, Chapman-Kolmogorov, irréductibilité, périodicité, récurrence et transience, critère de série, théorème de Pólya sur les marches aléatoires, mesure invariante comme vecteur propre à gauche, temps de retour moyen, théorème ergodique et convergence vers l’équilibre par couplage, réversibilité et équilibre détaillé.
- MODULE L63Estimation statistiqueModèle statistique et estimateurs, biais, variance et décomposition du risque quadratique, correction en n − 1 et sa lecture géométrique, méthode des moments, maximum de vraisemblance, information de Fisher, inégalité de Cramér-Rao et ses conditions de régularité, normalité asymptotique de l’EMV, exhaustivité et Rao-Blackwell, intervalles de confiance asymptotiques.
- MODULE L64Tests d’hypothèsesHypothèses et dissymétrie du test, erreurs de première et seconde espèce, puissance, loi uniforme de la p-valeur sous H0 et ses contresens, lemme de Neyman-Pearson, test de Student, tests du khi-deux d’adéquation et d’indépendance et leurs degrés de liberté, taux de fausses découvertes, corrections de Bonferroni et de Benjamini-Hochberg.
- MODULE L65Analyse exploratoire multidimensionnelleInertie et tableau de données, analyse en composantes principales comme problème spectral, composantes et parts d’inertie, lien avec la SVD, effet du changement d’unité et rôle de la réduction, critère de Kaiser, décomposition de Huygens, k-moyennes et algorithme de Lloyd, minima locaux, classification ascendante hiérarchique et critère de Ward, choix du nombre de classes.
Partie S — L3 · Numérique appliqué
Modules L66 à L68 · Schémas numériques pour les équations différentielles, méthodes pour les équations aux dérivées partielles, calcul scientifique et arithmétique flottante.
- MODULE L66Méthodes numériques pour les EDOProblème de Cauchy et Cauchy-Lipschitz, schémas d’Euler explicite et implicite, Heun et RK4, consistance, ordre et convergence, preuve de convergence d’Euler, fonction et domaine de stabilité, A-stabilité et impossibilité pour les schémas explicites, problèmes raides, schémas symplectiques et conservation de l’énergie en temps long.
- MODULE L67Méthodes numériques pour les EDPClassification elliptique, parabolique et hyperbolique, différences finies, schéma explicite de la chaleur et condition CFL, analyse de von Neumann et facteur d’amplification, théorème de Lax, schémas implicites et Crank-Nicolson, algorithme de Thomas, A-stabilité sans L-stabilité, équation de transport, schéma amont, diffusion et dispersion numériques.
- MODULE L68Calcul scientifique et arithmétique flottanteNorme IEEE 754, epsilon machine et ulp, annulation catastrophique et formule stable du trinôme, conditionnement d’un problème et stabilité à rebours d’un algorithme, inégalité erreur avant / erreur arrière, matrice de Hilbert, pivot de Gauss partiel, sommation compensée de Kahan, quadrature de Gauss-Legendre et optimalité au degré 2n − 1.
Partie J — Vers la recherche
Modules L23 et L24 · Les limites du calcul, et la méthode pour repousser les limites du savoir.
- MODULE L23Informatique théoriqueAutomates et langages, machine de Turing, problème de l’arrêt, P et NP, réductions, calcul quantique, castor affairé.
- MODULE L24Vers la rechercheLire un article en trois passes, reproduire, expérimenter rigoureusement, écrire ; questions ouvertes en informatique, IA et robotique ; parcours prépa, X, ENS, université, thèse.